Use o método das cascas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região entre y = x^2 e y = m * x em torno do eixo x (Figura 2).

Passo 1

Falaaa, como vai?? Para encontrarmos o volume pelo método das cascas usamos a fórmula:

V = 2 π ∫ a b r a i o ( a l t u r a ) d y

Onde a altura é f y - g ( y ) e o raio, neste caso, é y .

Passo 2

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre as funções.

y = y m

y 2 m 2 - y = 0

y y m 2 - 1 = 0

Então, pontos são [ 0 ,   m 2 ] .

A função que limita a parte superior é x = y e a inferior x = y / m . Substituindo os valores definidos na fórmula.

V = 2 π ∫ 0 m 2 y y - y m d y

V = 2 π ∫ 0 m 2 y 3 / 2 - y 2 m d y

V = 2 π 2 m 5 5 - m 5 3

V = 2 π 15 m 5

Resposta

V = 2 π 15 m 5