Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas 9-16.

Passo 1

Vou descrever o método que ele nos pede para resolver o exemplo aqui em baixo!!

Primeiro passo, é reescrevermos a função com a seguinte forma:

d y d x = f ( x , y )

Onde f ( x , y ) é uma função qualquer que depende de x e de y .

Depois, vamos usar as seguintes substituições.

y = x u                         d y d x = u + x d u d x

Essa substituição tornará nossa equação, uma EDO de variável separável. Então, depois é só organizarmos a equação e integrarmos dos dois lados.

Passo 2

A função do exemplo é:

x y + y 2 d x - x 2 d y = 0

Testando se é homogênea.

d y d x = x y + y 2 x 2

d y d x = y x + y x 2

Utilizando a substituição que definimos no passo 1.

u + x d u d x = u + u 2

1 u 2 d u = 1 x d x

∫ 1 u 2 d u = ∫ 1 x d x

- 1 u = ln ⁡ x + c

Lembrando da nossa substituição: u = y x

- x y = ln ⁡ x + c

y = - x ln ⁡ x + c

E aqui acaba nossa solução!!

Resposta

y = - x ln ⁡ x + c