Use o método discutido em “Equações homogêneas” para resolver os problemas 9-16.

Passo 1

Vou descrever o método que ele nos pede para resolver o exemplo aqui em baixo!!

Primeiro passo, é reescrevermos a função com a seguinte forma:

d y d x = f ( x , y )

Onde f ( x , y ) é uma função qualquer que depende de x e de y .

Depois, vamos usar as seguintes substituições.

y = x u                         d y d x = u + x d u d x

Essa substituição tornará nossa equação, uma EDO de variável separável. Então, depois é só organizarmos a equação e integrarmos dos dois lados.

Passo 2

A função do exemplo é:

3 x 2 - y 2 d x + ( x y - x 3 y - 1 ) d y = 0

Testando se é homogênea.

d y d x = - 3 x 2 - y 2 x y - x 3 y - 1

Multiplicando todos os termos por y para encaixarmos a substituição.

d y d x = - y 3 - 3 y x 2 x y 2 - x 3

Multiplicando por x - 3 .

d y d x = x - 3 y 3 - 3 x - 1 y x - 2 y 2 - 1

d y d x = y x 3 - 3 y x y x 2 - 1

Utilizando a substituição que definimos no passo 1.

u + x d u d x = u 3 - 3 u u 2 - 1

x d u d x = - 2 u u 2 - 1

u 2 - 1 u d u = - 2 x d x

∫ u 2 - 1 u d u = - ∫ 2 x d x

u 2 2 - ln ⁡ u = - 2 ln ⁡ x + c

u 2 - 2 ln ⁡ u = - 4 ln ⁡ x + c

Lembrando da nossa substituição: u = y x

y 2 x 2 - 2 ln ⁡ y x = - 4 ln ⁡ x + c

y 2 x 2 + 4 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ y x = c

E aqui acaba nossa solução!!

Resposta

y 2 x 2 + 4 ln ⁡ x - 2 ln ⁡ y x = c