Use o método de Euler com h = 0,1 para aproximar a solução ao problema de valor inicial

y' = 1 / x^2 - y / x - y^2, y(1) = 1

No intervalo 1 ≤ x ≤ 2 . Compare essas aproximações com a solução real y = -1 / x (verifique!) representando um gráfico a aproximação de linha poligonal e a solução real no mesmo sistema de coordenadas.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos essa questão, temos a seguinte fórmula.

y n + 1 = y n + h f ( y n , x n )

Onde, x 0 e y 0 são os pontos iniciais dados pelo enunciado. E f ( x n , y n ) é definido por:

y ' = f ( t , x )

Bora para o exemplo!!!

Passo 2

A equação do enunciado é:

y ' = 1 x 2 - y x - y 2 ,             y 1 = - 1

Então, x 0 = 1 e y 0 = - 1 .

O enunciado nos diz que h = 0,1 . Então, bora aproximar a solução.

y n + 1 = y n + h 1 x n 2 - y n x n - y n 2

y 1 = 1 + 0,1 1 1 2 - - 1 1 - - 1 2 = - 0.9

y 2 = - 0.9 + 0,1 1 1,1 2 - - 0.9 1 , 1 - - 0.9 2 = - 0,81654

y 3 = - 0,81654 + 0,1 1 1 , 2 2 - - 0,81654 1 , 2 - - 0,81654 2 = - 0 , 74572

y 3 = - 0,74572 + 0,1 1 1 , 3 2 - - 0,74572 1 , 3 - - 0,74572 2 = - 0 , 6848

y 4 = - 0,6848 + 0,1 1 1 , 4 2 - - 0,6848 1 , 4 - - 0,6848 2 = - 0,6 3176

y 5 = - 0,63176 + 0,1 1 1 , 5 2 - - 0,63176 1 , 5 - - 0,63176 2 = - 0 , 58511

Seguindo o processo, encontramos os valores:

y 6 = - 0,58511

y 7 = - 0,54371

y 8 = - 0,50669

y 9 = - 0,50669

y 10 = - 0,47335

A solução para a EDO o enunciado nos diz que é - 1 / x . Comparando os gráficos:

Resposta

Resolução nos passos anteriores.