Use o método de Euler para encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial

y' = 1 - sen(y), y(0) = 0

Em x = pi , usando 1, 2, 4 e 8 passos.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos essa questão, temos a seguinte fórmula.

y n + 1 = y n + h f ( x n , y n )

Onde, x 0 e y 0 são os pontos iniciais dados pelo enunciado. E f ( x n , y n ) é definido por:

y ' = f ( x , y )

Para essa questão em específico, queremos aproximar a solução no ponto x = π , em alguns passos, quanto mais passos mais próximos estaremos da solução. Então, o h é definido por:

h = x N

Onde N é o número de passos.

Bora para o exemplo!!!

Passo 2

A equação do enunciado é:

y ' = 1 - s e n   y ,             y 1 = 1

Então, x 0 = 0 e y 0 = 0 .

Usando 1 passo, então:

h = π 1

Agora podemos achar o valor de y .

y n + 1 = y n + h 1 - s e n   y n

y 1 = 0 + π 1 - s e n   0 = π

Está é a solução para 1 passo. y 1 = 3,1416 .

Passo 3

Usando 2 passos, temos:

h = π 2

Achando o valor de y .

y 1 = 0 + π 2 1 - s e n   0 = π 2

y 2 = π 2 + π 2 1 - s e n π 2 = π 2

Pronto, a aproximação da solução para 2 passos é y 2 = 1,5708 .

Passo 4

Usando 4 passos:

h = π 4

Achando o valor de y .

y 1 = 0 + π 4 1 - s e n   0 = π 4

y 2 = π 4 + π 4 1 - s e n   π 4 = 1,0154

y 3 = 1,0154 + π 4 1 - s e n   1,0154 = 1,1335

y 4 = 1,1335 + π 4 1 - s e n   1,1335 = 1,2074

A aproximação da solução para 4 passos é: y 4 = 1,2074 .

Passo 5

8 passos:

h = π 8

Achando o valor de y .

y 1 = 0 + π 8 1 - s e n   0 = π 8

y 2 = π 8 + π 8 1 - s e n π 8 = 0,6351

y 3 = 0,6351 + π 8 1 - s e n   0,6351 = 0,7948

y 4 = 0,7948 + π 8 1 - s e n   0,7948 = 0,9072

y 5 = 0,9072 + π 8 1 - s e n   0,9072 = 0,9905

y 6 = 0,9905 + π 8 1 - s e n   0,9905 = 1,0548

y 7 = 1,0548 + π 8 1 - s e n   1,0548 = 1,1059

y 8 = 1,1059 + π 8 1 - s e n   1,1059 = 1,1476

Sendo assim, o valor para 8 passos é y 8 = 1,1476 .

Resposta

y 1 = 3,1416

y 2 = 1,5708

y 4 = 1,2074

y 8 = 1,1476