Use o método de Euler para encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial

d x / d t = 1 + t sen t x, x(0) = 0

Em t = 1 , usando 1, 2, 4 e 8 passos.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos essa questão, temos a seguinte fórmula.

x n + 1 = x n + h f ( x n , t n )

Onde, x 0 e t 0 são os pontos iniciais dados pelo enunciado. E f ( x n , t n ) é definido por:

x ' = f ( t , x )

Para essa questão em específico, queremos aproximar a solução no ponto t = 1 , em alguns passos, quanto mais passos mais próximos estaremos da solução. Então, o h é definido por:

h = t N

Onde N é o número de passos.

Bora para o exemplo!!!

Passo 2

A equação do enunciado é:

x ' = 1 + t s e n   t x ,             x 0 = 0

Então, x 0 = 0 e y 0 = 0 .

Usando 1 passo, então:

h = 1 1

Agora podemos achar o valor de x .

x n + 1 = x n + h 1 + t n s e n   x n t n

x 1 = 0 + 1 + 0 = 1

Está é a solução para 1 passo. x 1 = 1 .

Passo 3

Usando 2 passos, temos:

h = 1 2

Achando o valor de x .

x 1 = 0 + 1 2 1 + 0 s e n   0 = 1 2

x 2 = 1 2 + 1 2 1 + 1 2 s e n 1 4 = 1,06185

Pronto, a aproximação da solução para 2 passos é x 2 = 1,06185 .

Passo 4

Usando 4 passos:

h = 1 4

Achando o valor de x .

x 1 = 0 + 1 4 1 + 0 s e n   0 = 1 4

x 2 = 1 4 + 1 4 1 + 1 4 s e n   1 16 = 0,5039

x 3 = 0,5039 + 1 4 1 + 1 2 s e n 5039 20000 = 0,78506

x 4 = 0,78506 + 1 4 1 + 3 4 s e n 3 ( 0,78506 ) 4 = 1,13919

A aproximação da solução para 4 passos é: x 4 = 1,13919 .

Passo 5

8 passos:

h = 1 8

Achando o valor de x .

x 1 = 0 + 1 8 1 + 0 s e n   0 = 1 8

x 2 = 1 8 + 1 8 1 + 1 8 s e n 1 64 = 0,25024

x 3 = 0,25024 + 1 8 1 + 1 4 s e n 391 6250 = 0,37719

x 4 = 0,37719 + 1 8 1 + 3 8 s e n 3 0,37719 8 = 0,5088

x 5 = 0,5088 + 1 8 1 + 1 2 s e n 159 625 = 0,64953

x 6 = 0,64953 + 1 8 1 + 5 8 s e n 5 0,64953 8 = 0,80538

x 7 = 0,80538 + 1 8 1 + 3 4 s e n 3 0,80538 4 = 0,98363

x 8 = 0,98363 + 1 8 1 + 7 8 s e n 7 0,98363 8 = 1,19157

Sendo assim, o valor para 8 passos é x 8 = 1,19157 .

Resposta

y 1 = 1

y 2 = 1,06185

y 4 = 1,13919

y 8 = 1,19157