Use o método de Euler com espaçamentos h = 0,5 ; 0,1 ; 0,5 ; 0,01 para aproximar a solução ao problema de valor inicial

y' = 2x * y^2 y(0) = 1

no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 . (A explicação para os resultados erráticos se encontra no problema 18 dos exercícios da Seção 1.2.)

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para está resolução, vamos usar um software para nos dar os valores aproximados da solução, pois é totalmente inviável fazer cada soma.

Então, como já sabemos, cada aproximação é dada por:

y n + 1 = y 0 + h   f ( x , y )

E para este exemplo, temos os seguintes resultados:

Para h = 0,5 .

y 1 = 1

y 2 = 1,5

y 3 = 3,75

y 4 = 24,8438

Para h = 0,1 .

y 1 = 1

y 2 = 1,02

y 3 = 1,06162

y 4 = 1,12924

y 11 = 6,73609

y 20 = 6,45732 * 10 176  

Para h = 0,05

y 1 = 1

y 2 = 1,005

y 3 = 1,0151

y 20 = 5,93635

y 40 = 1,85205308 * 10 114571

Para h = 0,01

y 1 = 1

y 2 = 1,0002

y 3 = 1,0006

y 100 = 18,2988

y 155 = 4,3263828 * 10 1317413919907137  

Podemos perceber que os resultados são totalmente inconclusivos, isso acontece, porque a solução da EDO não é contínua em x = 1 . A solução é:

y = 1 1 - x 2

Então, o Teorema não garante uma única solução no intervalo pedido pelo enunciado 0 ≤ x ≤ 2 .

Resposta

Resolução nos passos anteriores.