Use o método de Euler com tamanho de passo h = 0, 2 para aproximar a solução ao problema de valor inicial

y' = 1 / x (y^2 + y), y(1) = 1

Nos pontos x = 1, 2 ; 1, 4 ; 1, 6 e 1, 8 .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos essa questão, temos a seguinte fórmula.

y n + 1 = y n + h f ( x n , y n )

Onde, x 0 e y 0 são os pontos iniciais dados pelo enunciado. E f ( x n , y n ) é definido por:

y ' = f ( x , y )

Bora para o exemplo!!!

Passo 2

A equação do enunciado é:

y ' = 1 x y 2 + y ,             y 1 = 1

Então, x 0 = 1 e y 0 = 1 .

Os pontos para x já foram dados pelo enunciado, como: x 1 = 1 , 2 , x 2 = 1 , 4 , x 3 = 1 , 6 e x 4 = 1 , 8 . h = 0 , 2 .

Agora podemos achar os valores de y .

y n + 1 = y n + h 1 x n y n 2 + y n  

y 1 = 1 + 0 , 2 1 1 1 2 + 1 = 1 , 4

y 2 = 1,4 + 0,2 1 1 , 2 1,4 2 + 1,4 = 1,96

y 3 = 1,96 + 0,2 1 1 , 4 1,96 2 + 1,96 = 2,789

y 4 = 2,789 + 0,2 1 1,6 2,789 2 + 2,789 = 4,11

y 5 = 4,11 + 0,2 1 1 , 8 4,11 2 + 4,11 = 6,444

E aí estão os valores aproximados de y na solução, para os valores de x do enunciado.

Resposta

y 1 = 1,4

y 2 = 1,96

y 3 = 2,789

y 4 = 4,11

y 5 = 6,444