Enunciado

Use o método do Exemplo 7 para aproximar a expressão dada com o grau de precisão especificado. Confira sua resposta com a produzida diretamente por um recurso computacional

e ; quatro casas decimais de precisão.

Passo 1

O problema dessa questão é determinar quantos termos devemos incluir num polinômio de Maclaurin de e x para obter cinco casas decimais de precisão; isto é, queremos escolher n tal que o valor absoluto do enésimo resto em x = 1 satisfaça:

R n ( 1 ) ≤ 0,00005

Para determinar n, aplicaremos o Teorema da Estimativa do Resto com f x = e x , x = 1 e x 0 = 1 2 na Fórmula (1)

R n ( 1 ) ≤ M n + 1 ! * ⌈ 1 - 1 2 ⌉ n + 1 ≤ 0,00005                     ( 1 )

onde M é uma cota superior do valor de f(n+1)(x) = e x com x no intervalo [ 1 2 , 1]. Entretanto, e x é uma função crescente, assim o valor máximo no intervalo [ 1 2 , 1] ocorre em x = 1; isto é, e x ≤ e nesse intervalo. Desse modo, podemos tomar M = e 1 2 e e < 3 na equação (1) para facilitarmos o cálculo

3 1 2 n + 1 ! * ⌈ 0,5 ⌉ n + 1   ≤ 0,00005     →         n = 5

Assim, fica claro que precisamos de um polinômio de Maclaurin de ordem 5.

Passo 2

E por último, escrevemos até o quinto polinômio de Maclaurin, assim:

p 5 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' ( 0 ) 3 ! x 3 + f I V ( 0 ) 4 ! x 4 + f V ( 0 ) 5 ! x 5

E depois basta substitui f x = e x na série, considerando:

f 0 =   e ( 0 ) = 1

f ' 0 = e ( 0 ) = 1

f ' ' 0 = e ( 0 ) 2 ! = 1 2

f ' ' ' 0 = e ( 0 ) 3 ! = 1 2 * 3 = 1 6

f I V 0 = e ( 0 ) 4 ! = 1 2 * 3 * 4 = 1 24

f V 0 = e ( 0 ) 5 ! = 1 2 * 3 * 4 * 5 = 1 120

Logo, a série tem os seguintes termos:

f x = 1 + 1 2 1 2 + 1 6 1 2 2 + 1 24 1 2 3 + 1 120 1 2 4 = 1,648698

Passo 3

A questão também pede que calculemos por meio de um recurso computacional, assim teremos e = 1,648721 , com uma diferença aproximada de 0,000023, ou seja, as quatro primeiras casas decimais têm total semelhança, assim como pedido no comando.

Resposta

n = 5 ;     p 5 = 1,648698

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