Use o método do Exemplo 7 para aproximar a expressão dada com o grau de precisão especificado. Confira sua resposta com a produzida diretamente por um recurso computacional
; quatro casas decimais de precisão.
Passo 1
O problema dessa questão é determinar quantos termos devemos incluir num polinômio de Maclaurin de para obter cinco casas decimais de precisão; isto é, queremos escolher n tal que o valor absoluto do enésimo resto em x = satisfaça:
Para determinar n, aplicaremos o Teorema da Estimativa do Resto com , e na Fórmula (1)
onde M é uma cota superior do valor de f(n+1)(x) = com x no intervalo [, 1]. Entretanto, é uma função crescente, assim o valor máximo no intervalo [, 1] ocorre em x = 1; isto é, nesse intervalo. Desse modo, podemos tomar e na equação (1) para facilitarmos o cálculo
Assim, fica claro que precisamos de um polinômio de Maclaurin de ordem 5.
Passo 2
E por último, escrevemos até o quinto polinômio de Maclaurin, assim:
E depois basta substitui na série, considerando:
Logo, a série tem os seguintes termos:
Passo 3
A questão também pede que calculemos por meio de um recurso computacional, assim teremos , com uma diferença aproximada de 0,000023, ou seja, as quatro primeiras casas decimais têm total semelhança, assim como pedido no comando.