Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.

f ( x ,   y )   =   x   y ;   4 x 2   +   8 y 2   =   16

Passo 1

Fala galera, antes de começar a resolver a questão, vamos lembrar o que é os multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a determinar os extremos relativos restritos, consiste em procurar pontos na curva de restrição g ( x ,   y )   = 0 nos quais ∇ f   ( x 0 , y 0 )   =   λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) ) é satisfeita com algum escalar λ.

Passo 2

Vamos aos cálculos:

g x , y = 4 x 2   +   8 y 2 -   16 = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 8 x i + 16 y j

f x ,   y =   x   y

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = y i + x j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

y i + x j = 8 x λ i + 16 y λ j

O que equivale a:

y = 8 x λ   → λ = y 8 x

x = 16 y λ → λ = x 16 y

Igualando λ

λ = λ

y 8 x = x 16 y → 16 y 2 = 8 x 2 → 2 y 2 = x 2 → x = y 2  

Substituindo x em g x , y , temos:

g x , y = 4 ( y 2 ) 2   +   8 y 2 -   16 = 0

8 y 2   +   8 y 2   = 16

y = 1

Logo:

x = 2

Assim chegamos que os valores máximos e mínimos são ± 2 .

E os pontos onde esses valores extremos ocorrem são ( - 2 , - 1 ) e ( 2 , 1 ) para o máximo e ( - 2 , 1 ) e ( 2 , - 1 ) para o mínimo.

Acabamos essa, bora para a próxima?

Resposta

M á x i m o   e m   2   e m   ( - 2 , - 1 )   e   ( 2 , 1 )

M í n i m o   e m - 2   e m   ( - 2 , 1 )   e   ( 2 , - 1 )