Responde Aí

Enunciado

Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.

f x ,   y =   x 2   -   y 2 ;   x 2 +   y 2   =   25

Passo 1

Fala galera, antes de começar a resolver a questão, vamos lembrar o que é os multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a determinar os extremos relativos restritos, consiste em procurar pontos na curva de restrição g ( x ,   y )   = 0 nos quais ∇ f   ( x 0 , y 0 )   =   λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) ) é satisfeita com algum escalar λ.

Passo 2

Vamos aos cálculos:

g x , y = x 2 +   y 2 - 25 = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 2 x i + 2 y j

f x ,   y =   x 2   -   y 2

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = 2 x i - 2 y j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

2 x i - 2 y j = 2 x λ i + 2 y λ j

O que equivale a:

x = x λ → x ≠ 0   → λ = 1

- y = y λ   → λ = - 1

Igualando λ

λ = λ

x = x - 1 → x = - x → x + x = 0 → x = 0  

Substituindo x em g x , y , temos:

g 0 , y = 0 2 +   y 2 - 25 = 0

y 2 = 25 →   y = ± 5

( 0 , ± 5 )

Logo:

f x ,   y =   x 2   -   y 2

f 0 , ± 5 =   0 2   -   ± 5 2 = - 5

Assim chegamos que os valores máximos e mínimos é - 5 .

E os pontos onde esses valores extremos ocorrem são ( 0 , ± 5 ) .

Acabamos essa, bora para a próxima?

Resposta

M á x i m o   e   m í n i m o   e m - 5   n o   p o n t o   ( 0 , ± 5 )