Enunciado

Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.

f x ,   y =   4 x 3   +   y 2 ;   2 x 2 +   y 2   =   1

Passo 1

Fala galera, antes de começar a resolver a questão, vamos lembrar o que é os multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a determinar os extremos relativos restritos, consiste em procurar pontos na curva de restrição g ( x ,   y )   = 0 nos quais ∇ f   ( x 0 , y 0 )   =   λ ∇ g ( x 0 , y 0 ) ) é satisfeita com algum escalar λ.

Passo 2

Vamos aos cálculos:

g x , y = 2 x 2 +   y 2 -   1 = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 4 x i + 2 y j

f x ,   y =   4 x 3   +   y 2

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = 12 x 2 i + 2 y j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

12 x 2 i + 2 y j = 4 x λ i + 2 y λ j

O que equivale a:

12 x 2 = 4 x λ → x ≠ 0   → λ = 3 x

2 y = 2 y λ   → y ≠ 0   → λ = 1

Igualando λ

λ = λ → 3 x = 1 → x = 1 3  

12 x 2 = 4 x → 12 x 2 - 4 x = 0

12 x 2 - 4 x = 0 { x = 1 3   x = 0  

Substituindo x em g x , y , temos:

g 0 , y = 2 0 2 +   y 2 -   1 = 0

y 2 = 1 →   y = ± 1

0 , ± 1

g 1 3 , y = 2 1 3 2 +   y 2 -   1 = 0

y 2 = 1 - 2 9 → y 2 = 7 9 → y = ± 7 3

1 3 , ± 7 3

g x , 0 = 2 x 2 +   0 2 -   1 = 0

x 2 = 1 2 → x = ± 1 2

± 1 2 , 0

Por fim, vamos substituir os pontos encontrados em f x ,   y =   4 x 3   +   y 2

f 0 , ± 1 = 4 * 0 3   +   ( ± 1 ) 2 = 1

f 1 3 , ± 7 3 = 4 * 1 3 3   +   ± 7 3 2 = 25 27

f 1 2 , 0 = 4 * ± 1 2 3   +   0 2 = ± 4 2 2 * 2 2 = ± 2

Logo, temos que os valores máximos e mínimos são ± 2 .

E os pontos onde esses valores extremos ocorrem são ( 1 / 2 , 0 ) para o máximo e ( - 1 / 2 , 0 ) para o mínimo.

Acabamos essa, bora para a próxima?

Resposta

M á x i m o   e m   2   n o   p o n t o   ( 1 / 2 , 0 )

M í n i m o   e m - 2   n o   p o n t o   ( - 1 / 2 , 0 )

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