Use a notação de valor absoluto para obter uma expressão para a distância entre os dois números dados numa reta numérica. Simplifique sua resposta.

a)

- 6 e 5

b)

1 / x e 1 / (x + 1)

c)

3 / 13 e 4 / 17

d)

x / (x + 1) e (x - 1) / x

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos começar essa questão analisando a ideia de distância. Em duas situações teremos casos numéricos e em outras duas teremos casos algébricos. A ideia é a mesma. Vamos ter que usar o conceito de módulo.

Podemos expressar a distância de dois números como sendo o módulo da diferença entre os dois. Assim, vamos lá!

Passo 2

a) Neste caso, teremos

- 6 - 5 = - 11 = 11

ou

5 - - 6 = 11 = 11

Passo 3

b) Aqui, temos um exemplo de situação algébrica. Assim, vamos ter

1 x - 1 x + 1 = x + 1 - x x ⋅ ( x + 1 ) = 1 x ⋅ ( x + 1 )

Esse resultado pode ser expresso, usando uma propriedade de produto de módulos, da seguinte maneira:

1 x ⋅ x + 1 = 1 x ⋅ 1 x + 1 = 1 | x | ⋅ 1 | x + 1 |

Passo 4

c) Novamente, um exemplo numérico:

3 13 - 4 17 = 3 ⋅ 17 - 4 ⋅ 13 13 ⋅ 17 = 51 - 52 221 = - 1 221 = 1 221

Passo 5

d) Novamente, item algébrico. O procedimento será idêntico ao do Passo 3:

x x + 1 - x - 1 x = x ⋅ x - ( x + 1 ) ( x - 1 ) x + 1 x = x 2 - x 2 - 1 x x + 1 = 1 x x + 1

∴ 1 x x + 1 = 1 x ⋅ 1 x + 1

Resposta

a)

11

b)

1 | x | ⋅ 1 | x + 1 |

c)

1 221

d)

1 x ⋅ 1 x + 1