Use as propriedades de limites para calcular o limite abaixo

(1 - t^3) / (1 - t^2)

Passo 1

Show de bola, galera! Como estamos na etapa de revisão do capítulo, vamos usar o que vimos até agora.

Então, a princípio vamos fatorar o numerador e o denominador. Após esse processo, vamos usar as propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos usar as seguintes fatorações:

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Além disso, é comum encontrarmos a variável com o sinal positivo, isso pode ser feito assim:

1 - t 3 = - t 3 + 1 = - ( t 3 - 1 )

e

1 - t 2 = - t 2 + 1 = - ( t 2 - 1 )

Logo

1 - t 3 = - t - 1 t 2 + t + 1

e

1 - t 2 = - ( t - 1 ) ( t + 1 )

Passo 3

Agora vamos expressar a fração em função dessas fatorações

1 - t 3 1 - t 2 = - t - 1 t 2 + t + 1 - ( t - 1 ) ( t + 1 )

Cancelando os termos comuns, vamos obter

1 - t 3 1 - t 2 = t 2 + t + 1 t + 1

Passo 4

Agora vamos aplicar as propriedades dos limites. Vamos começar com a propriedade “O limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero”. Assim

1 - t 3 1 - t 2   = t 2 + t + 1 t + 1   = t 2 + t + 1   t + 1  

Agora vamos usar a propriedade da adição “O limite da soma/diferença é a soma/diferença dos limites”:

t 2 + t + 1   t + 1   = t 2   + t   + 1   t   + 1  

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite, usando a propriedade “O limite de uma constante é a própria constante, independentemente do ponto onde estamos calculando o limite”:

t 2   + t   + 1   t   + 1   = 1 2 + 1 + 1 1 + 1

∴ 1 - t 3 1 - t 2   = 3 2

E assim, concluímos mais uma questão e acho que já estamos aptos para irmos a próxima. Vem junto!

Resposta

1 - t 3 1 - t 2   = 3 2