Use as propriedades de limites para calcular o limite abaixo:

lim t → 0 ⁡ 5 + t 3 - 5 3 t

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos pensar no seguinte. Ao substituirmos 9 na função dada, vamos encontrar uma divisão do tipo 0 / 0 . Assim, vamos manipular essa função racionalizando o numerador e vamos simplificar a nossa vida. Só um detalhe, estamos acostumados a racionalizar raízes quadradas e às vezes podemos nos confundir com raízes de outros índices, mas vamos nos lembrar do seguinte: Uma raíz cúbica pode ser expressa como um expoente 1 / 3 . Para que ela seja cancelada, vamos precisar usar um artifício não muito comum.

Passo 2

Racionalizando o numerador, vamos precisar multiplicar e dividir a fração por um termo não convencional. Comecemos usando um termo genérico

1 a 3 - b 3

Para racionalizar essa fração, vamos precisar multiplicar e dividir por a 2 + a b + b 2 . Aplicando ao nosso problema, com a = 5 + t 3 e b = 5 3 , teremos

5 + t 3 - 5 3 t = 5 + t 3 - 5 3 t ⋅ 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2

= 5 + t + 5 3 5 + t 3 2 + 5 3 2 5 + t 3 - 5 3 5 + t 3 2 - 5 3 2 5 + t 3 - 5 t 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2

Observando os termos do numerador, percebemos que eles se cancelam ficando apenas os extremos. Logo

5 + t 3 - 5 3 t = 5 + t - 5 t 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2

= t t 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2

Podemos perceber que o t do numerador cancela com o do denominador e ficamos com a seguinte expressão no limite:

lim t → 0 ⁡ 5 + t 3 - 5 3 t = lim t → 0 ⁡ 1 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2

Passo 3

Para resolvermos esse limite, basta substituirmos os valores:

lim t → 0 ⁡ 1 5 + t 3 2 + 5 + t 3 ⋅ 5 3 + 5 3 2 = 1 5 2 3 + 5 3 ⋅ 5 3 + 5 2 3 = 1 3 5 2 3

Ufa! Ainda bem que tínhamos uma carta na manga que era essa racionalização! Essa é uma típica questão de segunda chamada que eu não queria estar na pele de quem fosse fazer!

Resposta

lim t → 0 ⁡ 5 + t 3 - 5 3 t = 1 3 5 2 3