Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 13.9 - Ex. 3

(a) Use um recurso gráfico para gerar o círculo   x 2   +   y 2   =   25 e duas curvas de nível distintas de f ( x ,   y )   =   x 2   -   y que somente toquem o círculo.

(b) Use os resultados obtidos na parte (a) para aproximar os valores máximo e mínimo de f sujeita à restrição x 2   +   y 2   =   25 .

(c) Verifique as suas aproximações da parte (b) usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Fala galera, vamos começar mais uma questão.

Letra (a) usando um recurso gráfico geramos esse gráfico para a questão.

Passo 2

Agora vamos para a letra (b).

Usando o recurso gráfico temos que o valor mínimo é igual a - 5 . Já o valor máximo igual a 101 4 .

Passo 3

Letra (c) Vamos aos cálculos usando os multiplicadores de Lagrange.

g x , y = x 2 +   y 2 - 25 = 0

∇ g = ∂ g ∂ x i +   ∂ g ∂ y j = 2 x i + 2 y j

f x ,   y =   x 2   -   y

∇ f = ∂ f ∂ x i +   ∂ f ∂ y j = 2 x i - 1 j

Fazendo as substituições em:

  ∇ f   ( x , y 0 )   =   λ ∇ g ( x , y )

2 x i - j = 2 x λ i + 2 y λ j

O que equivale a:

x = x λ → x ≠ 0   → λ = 1

- 1 = 2 y λ   → y = - 1 2

Substituindo x em g x , y , temos:

g 0 , y = 0 2 +   y 2 - 25 = 0

y 2 = 25 →   y = ± 5

( 0 , ± 5 )

f x ,   y =   x 2   -   y

f 0 , ± 5 =   0 2   -   ± 5 = ± 5

g x , - 1 2 = x 2 +   - 1 2 2 - 25 = 0

x 2 = 25 - 1 4 →   x 2 = 99 4 → x = ± 3 11 2

± 3 11 2 , - 1 2 = ( 4,97 ; - 0,5 )

f x ,   y =   x 2   -   y

f ± 3 11 2 , - 1 2 =   ± 3 11 2 2   -   - 1 2 = 101 4 = 25,25

Assim chegamos que o valor máximo é 101 4 no ponto ± 3 11 2 , ± 1 2   e valor mínimo é - 5 no ponto ( 0,5 ) .

Acabamos essa, bora para a próxima?

Resposta

a )

b) Valor mínimo - 5 . Valor máximo 101 4 .

c) Valor máximo igual a 101 4 no ponto ± 3 11 2 , ± 1 2   e valor mínimo igual a - 5 no ponto ( 0,5 ) .

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