Enunciado

Use o resultado do Exercício 33 para determinar se F é conservativo.

a )   F x , y , z = s e n x i + z j + y k

b )   F x , y , z = z i + 2 y z j + y 2 k

Passo 1

Vamos galera! Para mostrar que F é conservativo deve-se verificar se essas igualdades são satisfeitas:

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x , ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x ,   ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Ou seja:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   = 0

Considerando que:

F ( x ,   y ,   z )   =   f   ( x ,   y ,   z ) i   +   g ( x ,   y ,   z ) j   +   h ( x ,   y ,   z ) k

Passo 2

Letra (a):

F x , y , z = s e n x i + z j + y k

f   x ,   y ,   z = s e n x

g   x ,   y ,   z = z

h   x ,   y ,   z = y

Fazendo as derivada:

∂ f ∂ y = 0 ;   ∂ g ∂ x = 0 → ∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x

∂ f ∂ z = 0 ;   ∂ h ∂ x = 0 → ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x

∂ g ∂ z = 1 ;   ∂ h ∂ y = 1 → ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Assim

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   = 0

Temos que F é conservativo.

Passo 3

Letra (b):

F x , y , z = z i + 2 y z j + y 2 k

f   x ,   y ,   z = z

g   x ,   y ,   z = 2 y z

h   x ,   y ,   z = y 2

Fazendo as derivada:

∂ f ∂ y = 0 ;   ∂ g ∂ x = 0 → ∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x

∂ f ∂ z = 1 ;   ∂ h ∂ x = 0 → ∂ f ∂ z ≠ ∂ h ∂ x

∂ g ∂ z = 2 y ;   ∂ h ∂ y = 2 y → ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Assim, como

∂ f ∂ z ≠ ∂ h ∂ x

Temos que F não é conservativo

Resposta

a) conservativo.

b) não conservativo.

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