Responde Aí

Enunciado

Use o resultado do Exercício 33 para determinar se F é conservativo.

a )   F x , y , z = z 2 i + e - y j + 2 x z k

b )   F x , y , z = x y i + x 2 j + s e n z k

Passo 1

Vamos galera! Para mostrar que F é conservativo deve-se verificar se essas igualdades são satisfeitas:

∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x , ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x ,   ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Ou seja:

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   = 0

Considerando que:

F ( x ,   y ,   z )   =   f   ( x ,   y ,   z ) i   +   g ( x ,   y ,   z ) j   +   h ( x ,   y ,   z ) k

Passo 2

Letra (a):

F x , y , z = z 2 i + e - y j + 2 x z k

f   x ,   y ,   z = z 2

g   x ,   y ,   z = e - y

h   x ,   y ,   z = 2 x z

Fazendo as derivada:

∂ f ∂ y = 0 ;   ∂ g ∂ x = 0 → ∂ f ∂ y = ∂ g ∂ x

∂ f ∂ z = 2 z ;   ∂ h ∂ x = 2 x → ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x

∂ g ∂ z = 0 ;   ∂ h ∂ y = 0 → ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Assim

r o t   F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h   = 0

Temos que F é conservativo.

Passo 3

Letra (b):

F x , y , z = x y i + x 2 j + s e n z k

f   x ,   y ,   z = x y

g   x ,   y ,   z = x 2

h   x ,   y ,   z = s e n z

Fazendo as derivada:

∂ f ∂ y = x ;   ∂ g ∂ x = 2 x → ∂ f ∂ y ≠ ∂ g ∂ x

∂ f ∂ z = 0 ;   ∂ h ∂ x = 0 → ∂ f ∂ z = ∂ h ∂ x

∂ g ∂ z = 0 ;   ∂ h ∂ y = 0 → ∂ g ∂ z = ∂ h ∂ y

Assim, como

∂ f ∂ y ≠ ∂ g ∂ x

Temos que F não é conservativo

Resposta

a) conservativo.

b) não conservativo.