Enunciado

Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial

L y = D 2   –   2 λ D   + λ 2 + μ 2 y = g t ,   y t 0 = 0 ,   y ( t 0 )   =   0 .

Note que as raízes da equação característica são λ   ±   i μ .

Passo 1

Como as raízes da equação característica dadas pelo exercício c 1,2 = λ   ±   i μ , a solução da equação homogênea correspondente é:

y c t = c 1 e λ t cos ⁡ μ t + c 2 e λ t sen ⁡ μ t

De onde encontramos:

y 1 t = e λ t cos ⁡ μ t ,       y 2 t = e λ t sen ⁡ μ t

Passo 2

Como nós temos y 1 e y 2 podemos calcular o Wronskiano:

W y 1 , y 2 t = e λ t cos ⁡ μ t e λ t sen ⁡ μ t ' - e λ t cos ⁡ μ t ' e λ t sen ⁡ μ t =

= λ e 2 λ t cos ⁡ μ t sen ⁡ μ t + μ e 2 λ t cos 2 ⁡ μ t - λ e 2 λ t cos ⁡ μ t sen ⁡ μ t + μ e 2 λ t sen 2 ⁡ μ t

W = μ e 2 λ t

Passo 3

De acordo com o problema 22, a solução pode ser dada por:

Y t = ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 ( s ) W ( y 1 ,   y 2 ) ( s ) g s d s

Y t = ∫ t 0 t e λ ( t + s ) cos ⁡ μ s sen ⁡ μ t - e λ ( t + s ) cos ⁡ μ t sen ⁡ μ s μ e 2 λ t g s d s

Y t = ∫ t 0 t e λ t + s cos ⁡ μ s sen ⁡ μ t - cos ⁡ μ t sen ⁡ μ s g s d s

Pode ser escrito como:

Y t = 1 μ ∫ t 0 t e λ t + s sen [ ⁡ ( t - s ) μ ] g s d s

Resposta

Y t = 1 μ ∫ t 0 t e λ t + s sen [ ⁡ ( t - s ) μ ] g s d s

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