Use o Teorema 9.4.3 para encontrar a soma da série.

b ) ∑ k = 1 ∞ 1 5 k - 1 k ( k + 1 )

Passo 1

Fala galera! Vamos para mais uma questão.

Para encontrar a soma da série temos que determinar a e r . E depois utilizar a forma abaixo para obter o valor do somatório

a 1 - r

Então, vamos lá!

Passo 2

∑ k = 1 ∞ 1 5 k - 1 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 5 k - ∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1

∑ k = 1 ∞ 1 5 k = 1 5 + 1 5 2 + 1 5 3 + …                             → a = 1 5 ,   r = 1 5

∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) = 1 2 + 1 6 + 1 12 + …         → a = 1 ,   r = 1

Agora é só fazer o somatório

∑ k = 1 ∞ 1 5 k - 1 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 5 k - ∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 = 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 = 1 4 - 1 = - 3 4

Prontinho.

Resposta

- 3 4