Use o Teorema da Estimativa do Resto e o método do Exemplo 1 para provar que a série de Taylor de s e n   x em torno de x   =   π / 4 converge para s e n   x em qualquer x .

Passo 1

Bora para mais uma questão.

O método 1: Teorema da Estimativa do Resto nos diz que:

R n ( x ) ≤ M n + 1 ! x - x 0 n + 1

Método 2 (do Exemplo 1): Teorema, a igualdade

f x = ∑ k = 0 ∞ f k x 0 k ! ( x - x 0 ) k

é verdadeira em um ponto x se, e somente se, R n   x = 0

Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o somatório

s e n   x = ∑ k = 0 ∞ x k k ! ( - 1 ) k

s e n   π 4 = π 4 - ( π / 4 ) 3 3 ! + ( π / 4 ) 5 5 ! - …

Temos:

R n ( x ) ≤ x - x 0 n + 1 n + 1 !

R n π 4 ≤ π 4 n + 1 n + 1 !

Considerando

n + 1 = π 4 ,   n = 45 - 1 = 44

Então

R 44 π 4 ≤ π 4 44 + 1 44 + 1 ! ≤ π 4 45 45 !

0 ≤ R 44 π 4 ≤ π 4 45 45 !

π 4 45 45 !   = 0

Resposta

s e n   x em torno de x   =   π / 4 converge para s e n   x em qualquer x .