Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercí cio, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C ( x 2 - y 2 ) d x + x d y

Passo 1

Vamos galera, resolver essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = x 2 - y 2 ; g   x ,   y = x

∂ g ∂ x = 1

∂ f ∂ y = - 2 y

y = r s e n θ

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C ( x 2 - y 2 ) d x + x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 - 2 r s e n θ r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r - 2 r 2 s e n θ d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 - 2 r 3 3 s e n θ 0 3 d θ = ∫ 0 2 π 9 2 - 18 s e n θ d θ = = 9 θ 2 + 18 c o s θ 0 2 π = 9 ( 2 π ) 2 + 18 c o s 2 π - 9 0 2 - 18 c o s 0 = 9 π + 18 - 18 = 9 π

Resposta

9 π

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