Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, sup onha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C 3 x y d x + 2 x y d y

Passo 1

Vamos galera, resolver essa questão!

O Teorema de Green diz que:“Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = 3 x y ; g   x ,   y = 2 x y

∂ g ∂ x = 2 y

∂ f ∂ y = 3 x

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C 3 x y d x + 2 x y d y = ∫ - 2 4 ∫ 1 2 2 y - 3 x d y d x = ∫ - 2 4 y 2 - 3 x y 1 2 d x = ∫ - 2 4 4 - 6 x - 1 + 3 x d x = ∫ - 2 4 - 3 x + 3 d x = - 3 x 2 2 + 3 x - 2 4 = - 3 * 4 2 2 + 3 * 4 + 3 - 2 2 2 - 3 - 2 = - 24 + 12 + 6 + 6 = 0

Resposta

0

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