Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C x 2 - y d x + x d y

Passo 1

Vamos resolver mais uma questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = x 2 - y ; g   x ,   y = x

∂ g ∂ x = 1

∂ f ∂ y = - 1

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C x 2 - y d x + x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 1 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 d y d x = ∫ 0 2 π 2 y 0 2 d x = ∫ 0 2 π 4 d x = = 4 x 0 2 π = 8 π

Resposta

8 π

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