Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C c o s x   s e n y d x + s e n x   c o s y d y

onde C   é o triângulo de vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( 3 ,   3 )   e   ( 0 ,   3 ) .

Passo 1

Bora galera! Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = c o s x   s e n y ; g   x ,   y = s e n x   c o s y

∂ g ∂ x = c o s x   c o s y

∂ f ∂ y = c o s x   c o s y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C c o s x   s e n y d x + s e n x   c o s y d y = ∬ R c o s x   c o s y - c o s x   c o s y d A = 0

Resposta

0

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