Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C l n l n   ( 1 + y )   d x - x y 1 + y d y

Passo 1

Bom! Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = l n l n   ( 1 + y )   ; g   x ,   y = - x y 1 + y

∂ g ∂ x = - y 1 + y

∂ f ∂ y = 1 1 + y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C l n l n   ( 1 + y )   d x - x y 1 + y d y = ∬ R - y 1 + y - 1 1 + y d A = ∬ R - y + 1 1 + y d A = ∬ R - d A = - A t r i â g u l o = - 2 * 4 2 = - 4

Resposta

- 4

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