Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C e x - y 2 d x + e y - x 2 d y

Passo 1

Bora galera! Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = e x - y 2 ; g   x ,   y = e y - x 2

∂ g ∂ x = - 2 x

∂ f ∂ y = - 2 y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C e x - y 2 d x + e y - x 2 d y = ∫ 0 1 ∫ x x 2 - 2 x + 2 y d y d x = ∫ 0 1 - 2 x y + y 2 x x 2 d x = ∫ 0 1 ( - 2 x 3 + x 4 + x 2 ) d x = - x 4 2 + x 5 5 + x 3 3 0 1 = - 1 2 + 1 5 + 1 3 = 1 30

Resposta

1 30

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