Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C a r c t g   y d x - y 2 x 1 + y 2 d y

onde C   é o quadrado de vértices ( 0 ,   0 ) ,   ( 1 ,   0 ) ,   ( 1 ,   1 )   e   ( 0 ,   1 ) ..

Passo 1

Bora galera! Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = a r c t g   y ; g   x ,   y = - y 2 x 1 + y 2

∂ g ∂ x = - y 2 1 + y 2

∂ f ∂ y = 1 1 + y 2

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C a r c t g   y d x - y 2 x 1 + y 2 d y = ∬ R - y 2 1 + y 2 - 1 1 + y 2 d A = ∬ R - y 2 + 1 1 + y 2 d A = = ∬ R - d A = -   A q u a d r a d o = - 1

Resposta

- 1

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