Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 15.4 - Ex. 6

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C y t g 2 x d x - t g x d y

Passo 1

Vamos galera, resolver essa questão!

O Teorema de Green diz que:“Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = y t g 2 x ; g   x ,   y = - t g x

∂ g ∂ x = - x  

∂ f ∂ y = t g 2 x

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C y t g 2 x d x - t g x d y = ∬ R - x   - t g 2 x d A = ∬ R d A = π

Resposta

π

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