Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C x 2 y d x - y 2 x d y

onde C   é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x 2   +   y 2   =   16 .

Passo 1

Bora galera! Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = x 2 y ; g   x ,   y = - y 2 x

∂ g ∂ x = - y 2

∂ f ∂ y = x 2

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C x 2 y d x - y 2 x d y = ∬ R - y 2 - x 2 d A

Transformando as coordenadas:

x = r c o s θ ; y = r s e n θ

x 2 + y 2 = r 2 θ   + θ   = r 2

∮ C x 2 y d x - y 2 x d y = ∬ R - y 2 - x 2 d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 - r 3 d r d θ = ∫ 0 π / 2 - r 4 4 0 4 d θ = ∫ 0 π / 2 - 64 d θ = - 64 θ 0 π / 2 = - 64 * π 2 = - 32 π

Resposta

- 32 π

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