Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, s uponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮ C x 2 y d x + ( y + x y 2 ) d y

onde C   é a fronteira da região compreendida por y   =   x 2 e x   =   y 2 .

Passo 1

Vamos resolver mais essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = x 2 y ; g   x ,   y = y + x y 2

∂ g ∂ x = y 2

∂ f ∂ y = x 2

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C x 2 y d x + ( y + x y 2 ) d y = ∬ R y 2 - x 2 d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x y 2 - x 2 d y d x = ∫ 0 1 y 3 3 - y x 2 x 2 x d x = ∫ 0 1 x 3 2 3 - x 5 2 - x 6 3 + x 4 d x = 2 x 5 2 15 - 2 x 7 2 7 - x 7 21 + x 5 5 0 1 = 2 15 - 2 7 - 1 21 + 1 5 = 14 - 30 - 5 + 21 10 5 = 0

Resposta

0

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