Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada e xercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário.

∮C x cos y dx - y sen x dy

Passo 1

Vamos galera, resolver essa questão!

O Teorema de Green diz que: “Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Se f   ( x ,   y ) e g ( x ,   y ) forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo R , então

∮ C f   ( x ,   y ) d x + g   ( x ,   y ) d y =   ∬ R ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y   d A "

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular as derivadas necessárias para resolver a integral pelo Teorema de Green:

f   x ,   y = x c o s y ; g   x ,   y = - y s e n x

∂ g ∂ x = - y c o s x

∂ f ∂ y = - x s e n y

Usando a equação do Teorema, temos:

∮ C x c o s y d x - y s e n x d y = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 - y c o s x + x s e n y d y d x = ∫ 0 π / 2 - y 2 c o s x 2 - x c o s y 0 π / 2 d x = ∫ 0 π / 2 - ( π / 2 ) 2 c o s x 2 - x c o s π 2 + ( 0 ) 2 c o s x 2 + x c o s 0 d x = ∫ 0 π / 2 - π 2 c o s x 8 + x d x = = - π 2 s e n x 8 + x 2 2 0 π / 2 = - π 2 s e n ( π / 2 ) 8 + π / 2 2 2 + π 2 s e n ( 0 ) 8 - 0 2 2 = - π 2 8 + π 2 8 = 0

Resposta

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