Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular.

∮ C F . d r

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular a rotacional pela equação:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x z     3 x 2 y 2     y x   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   x z   3 x 2 y 2   | = ∂ (   y x ) ∂ y i + ∂ ( x z ) ∂ z j + ∂ ( 3 x 2 y 2 ) ∂ x k - ∂ x z ∂ y k - ∂ 3 x 2 y 2 ∂ z i - ∂   y x ∂ x j = x i + ( x - y ) j + 6 x y 2 k

Considerando z = y temos que n = j - k .

∬ σ r o t   F . n   d S = ∬ R x i + x - y j + 6 x y 2 k . ( j - k )   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 3 ( x - y - 6 x y 2 ) d y d x = ∫ 0 1 x y - y 2 2 - 2 x y 3 0 3 d x = ∫ 0 1 - 9 2 - 51 x d x = - 9 x 2 - 51 x 2 2 0 1 = - 9 2 - 51 2 = - 30

Resposta

- 30

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