Use o Teorema de Stokes para calcular.

∮C F . dr

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

oint_C^() F . T d s = ∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S

Passo 2

Inicialmente, vamos calcular a rotacional pela equação:

r o t F = grad x F = |i j k (del)/(del x) (del)/(del y) (del)/(del z) x z 3 x^2 y^2 y x| i j (del)/(del x) (del)/(del y) x z 3 x^2 y^2 | = (del ( y x ))/(del y) i + (del ( x z ))/(del z) j + (del ( 3 x^2 y^2 ))/(del x) k - (del (x z))/(del y) k - (del (3 x^2 y^2))/(del z) i - (del (y x))/(del x) j = x i + ( x - y ) j + 6 x y^2 k

Considerando z = y temos que n = j - k .

∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S = ∬_R^() (x i + (x - y) j + 6 x y^2 k) . ( j - k ) d A = int_0^1 int_0^3 ( x - y - 6 x y^2 ) d y d x = int_0^1 [x y - (y^2)/(2) - 2 x y^3]_0^3 d x = int_0^1 (- (9)/(2) - 51 x) d x = [- (9 x)/(2) - (51 x^2)/(2)]_0^1 = - (9)/(2) - (51)/(2) = - 30

Resposta

- 30