Use o Teorema de Stokes para calcular.

∮C F . dr

Passo 1

Bora galera! Vamos para mais uma questão.

O Teorema de Stokes diz que:

oint_C^() F . T d s = ∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S

Passo 2

Vamos calcular a rotacional pela equação:

r o t F = grad x F = |i j k (del)/(del x) (del)/(del y) (del)/(del z) x y y z z x| i j (del)/(del x) (del)/(del y) x y y z | = (del ( z x ))/(del y) i + (del ( x y ))/(del z) j + (del ( y z ))/(del x) k - (del (x y))/(del y) k - (del (y z))/(del z) i - (del (z x))/(del x) j = - y i - z j - x k

Considerando

z = 1 - x - y -> n = i + j + k

x + y = 1 -> y = 1 - x

x = 0 ; y = 0

∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S = ∬_R^() (- y i - z j - x k) . (i + j + k) d A = ∬_R^() (- y - z - x) d A = int_0^1 int_0^(1 - x) (- y - ( 1 - x - y ) - x) d y d x = int_0^1 int_0^(1 - x) (- y - 1 + x + y - x) d y d x = int_0^1 int_0^(1 - x) - 1 d y d x = int_0^1 [- y]_0^(1 - x) d x = int_0^1 (- 1 + x) d x = [- x + (x^2)/(2) + 18 x]_0^1 = - 1 + (1)/(2) = - (1)/(2)

Resposta

- (1)/(2)