Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 15.8 - Ex. 8

Use o Teorema de Stokes para calcular.

∮ C F . d r

Passo 1

Bora galera! Vamos para mais uma questão.

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Vamos calcular a rotacional pela equação:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   - 3 y 2     4 z     6 x   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   - 3 y 2   4 x   | = ∂ ( 6 x ) ∂ y i + ∂ ( - 3 y 2 ) ∂ z j + ∂ ( 4 z ) ∂ x k - ∂ - 3 y 2 ∂ y k - ∂ 4 z ∂ z i - ∂   6 x ∂ x j = - 4 i - 6 j + 6 y k

Considerando

z = 1 2 y → n = - 1 2 j + k

x + y = 2   → y = 2 - x

x = 0 ; y = 0

∬ σ r o t   F . n   d S = ∬ R - 4 i - 6 j + 6 y k . - 1 2 j + k   d A = ∬ R 3 + 6 y   d A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ( 3 + 6 y ) d y d x = ∫ 0 2 3 y + 3 y 2 0 2 - x d x = ∫ 0 2 3 ( 2 - x ) + 3 ( 2 - x ) 2 d x = ∫ 0 2 3 x 2 - 15 x + 18 d x x 3 - 15 x 2 2 + 18 x 0 2 = 2 3 - 15 2 2 2 + 18 * 2 = 14

Resposta

14

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