Use o Teorema de Stokes para calcular.

oint_C^() F . d r

Passo 1

Bora galera! Vamos para mais uma questão.

O Teorema de Stokes diz que:

oint_C^() F . T d s = ∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S

Passo 2

Vamos calcular a rotacional pela equação:

r o t F = grad x F = |i j k (del)/(del x) (del)/(del y) (del)/(del z) - 3 y^2 4 z 6 x| i j (del)/(del x) (del)/(del y) - 3 y^2 4 x | = (del ( 6 x ))/(del y) i + (del ( - 3 y^2 ))/(del z) j + (del ( 4 z ))/(del x) k - (del (- 3 y^2))/(del y) k - (del (4 z))/(del z) i - (del (6 x))/(del x) j = - 4 i - 6 j + 6 y k

Considerando

z = (1)/(2) y -> n = - (1)/(2) j + k

x + y = 2 -> y = 2 - x

x = 0 ; y = 0

∬_(sigma)^() (r o t F) . n d S = ∬_R^() (- 4 i - 6 j + 6 y k) . (- (1)/(2) j + k) d A = ∬_R^() (3 + 6 y) d A = int_0^2 int_0^(2 - x) ( 3 + 6 y ) d y d x = int_0^2 [3 y + 3 y^2]_0^(2 - x) d x = int_0^2 (3 ( 2 - x ) + 3 ( 2 - x )^2) d x = int_0^2 (3 x^2 - 15 x + 18) d x [x^3 - (15 x^2)/(2) + 18 x]_0^2 = 2^3 - (15 (2)^2)/(2) + 18 * 2 = 14

Resposta

14