Use o Teorema do Valor Intermediário para prova que sen x - cos(x) = 3x tem pelo menos uma solução e use o Teorema de Rolle para mostrar que essa solução é única.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Ok, a primeira coisa a se fazer é manipular um pouco a equação para que ela fique mais parecida com uma função, com isso, nós temos que

f x = s e n   x - cos ⁡ x   - 3 x

O melhor nesse caso é que ela tem as mesmas soluções da equação dada no enunciado. Esta função é contínua, por isso, nós podemos aplicar o TVI, nós vamos escolher um intervalo qualquer, mas um que seja fácil de calcular, por exemplo - π 2 , 0 , substituindo nos extremos, nós temos que

f - π 2 = s e n - π 2 - cos ⁡ - π 2 - 3 - π 2

Com isso,

f - π 2 = - 1 + 0 + 3 π 2 = 3 π 2 - 1 > 0

E para o outro extremo,

f 0 = s e n   0 - cos ⁡ 0 - 3 ∙ 0

Logo,

f 0 = 0 - 1 - 1 = - 1 < 0

Portanto, pelo TVI a equação s e n   x - cos ⁡ x = 3 x tem pelo menos uma solução no intervalo fechado - π 2 , 0 .

Passo 2

Agora, vamos assumir que esta equação tem duas soluções ( a   e   b ) . Pelo Teorema de Rolle, f ( x ) é contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) . Se f a = f b = 0 , então existe um número c entre a e b que f c ' = 0 . Dada a teoria, bem intuitiva por sinal, vamos calcular a primeira derivada

f ' x = sen ⁡ x - cos ⁡ x - 3 x '

Pela derivada da diferença, nós podemos escrever a derivada assim

f ' x = s e n   x ' - cos ⁡ x ' - ( 3 x ) '

E as derivadas nesse caso, serão

f ' x = cos ⁡ x - - s e n   x - 3 = cos ⁡ x + s e n   x - 3 ≤ - 1

Como a primeira derivada é menor que - 1 , a equação em que f ' c = 0 não tem soluções. Portanto, o teorema de Rolle não se aplica, o que implica em que a equação dada no enunciado ter exatamente uma solução.

Resposta

Demonstrado acima!