Use o Teorema do Valor Intermediário para prova que tem pelo menos uma solução e use o Teorema de Rolle para mostrar que essa solução é única.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Ok, a primeira coisa a se fazer é manipular um pouco a equação para que ela fique mais parecida com uma função, com isso, nós temos que
O melhor nesse caso é que ela tem as mesmas soluções da equação dada no enunciado. Esta função é contínua, por isso, nós podemos aplicar o TVI, nós vamos escolher um intervalo qualquer, mas um que seja fácil de calcular, por exemplo , substituindo nos extremos, nós temos que
Com isso,
E para o outro extremo,
Logo,
Portanto, pelo TVI a equação tem pelo menos uma solução no intervalo fechado .
Passo 2
Agora, vamos assumir que esta equação tem duas soluções . Pelo Teorema de Rolle, é contínua em e diferenciável em . Se , então existe um número entre e que . Dada a teoria, bem intuitiva por sinal, vamos calcular a primeira derivada
Pela derivada da diferença, nós podemos escrever a derivada assim
E as derivadas nesse caso, serão
Como a primeira derivada é menor que , a equação em que não tem soluções. Portanto, o teorema de Rolle não se aplica, o que implica em que a equação dada no enunciado ter exatamente uma solução.
Resposta
Demonstrado acima!