Use o TVM para provar que se f'(x) ≤ 2 para x > 0 e f(0) = 4 , então f(x) ≤ 2x + 4 para todo x >= 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que x > 0 , dado que f x é contínua no intervalo fechado [ 0 , x ] e é diferenciável no intervalo aberto ( 0 , x ) . Pelo TVM, onde a = 0 e b = x , existem um c ∈ ( 1,8 ) tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

No intervalo

f ' c = f x - f 0 x - 0

Rearranjando os termos, nós temos que

f x = f 0 + x f ' ( c )

Supondo f 0 = 4 e f ' x ≥ 2 para x ≥ 0 . Por TVM, nós obtemos o seguinte resultado

f x ≥ 4 + x 2 = 2 x + 4 ,   p a r a   t o d o   x ≥ 0

Note que substituímos que f ' x = 2 porque é o valor mínimo.

Resposta

Demonstrado acima!