Utilizando los teoremas de esta seccion hallar f’ para kas siguientes funciones:

  1. f(x, y, z) = x^y
  2. f(x, y, z) = (x^y, z)
  3. f(x, y) = sen(x * sen(y))
  4. f(x, y, z) = sin(x * sen(y * sen(z)))
  5. f(x, y, z) = x^(y^z)
  6. f(x, y, z) = x^(y + z)
  7. f(x, y, z) = (x + y)^z
  8. f(x, y, z) = sen(xy)
  9. f(x, y, z) = [sen(xy)]^(cos(3))
  10. f(x, y, z) = (sen(xy), sen(x * sen(y)), x^y) )

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Há nada de misteriosa nessa questões, só temso que tomar as derivadas com respeito a x,y e z. Bora lá?

Para a)

d d x x y = y x y - 1

E:

d d y x y = d d y ( e l n x y = d d y e y ln ⁡ x = ln ⁡ x   e y ln ⁡ x = ln ⁡ x   x y

Logo:

f ' x , y , z = ( y x y - 1 , ln ⁡ x   x y , 0 )  

Para b)

Agora temos uma derivada do tipo:

f ' ( x , y , z ) = d d x d d y d d z d d x d d y d d z d d y d d y d d z

Onde será aplica nos três termos. Mas veja que há somente dois, tornando a ultima linha nula. Logo:

f ' x , y , z = d d x d d y d d z d d x d d y d d z

No item a, já mostramos f ' x , y , z = y x y - 1 , ln ⁡ x   x y , 0 )  

E agora que:

d d z z = 1

Assim, temos :

f ' x , y , z = y x y - 1 ln ⁡ x     x y 0 0 0 1

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para c)

f x , y = sin ⁡ x sin ⁡ y

E a derivada com relação ao x é:

d d x sin ⁡ x sin ⁡ y = sin ⁡ y   cos ⁡ x sin ⁡ y

E em relação ao y:

d d y sin ⁡ x sin ⁡ y = x cos ⁡ y cos ⁡ ( x sin ⁡ y )

Assim:

f ' x , y = ( sin ⁡ y   cos ⁡ x sin ⁡ y , x cos ⁡ y cos ⁡ ( x sin ⁡ y ) )  

Para d)

f x , y , z = sin ⁡   x sin ⁡ y sin ⁡ z

E a derivada com relação ao x é:

d d x sin ⁡   x sin ⁡ y sin ⁡ z = sin ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z

E a derivada com relação ao y é:

d d y sin ⁡   x sin ⁡ y sin ⁡ z = cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z   x cos ⁡ y sin ⁡ z   sin ⁡ z

E a derivada com relação ao z é:

d d z sin ⁡   x sin ⁡ y sin ⁡ z = cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z   x y cos ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ z

Assim:

f ' x , y , z = cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z * sin ⁡ y sin ⁡ z ,       x cos ⁡ y sin ⁡ z   sin ⁡ z , x y cos ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ z    

Que coisa feia, não?

Para e)

f x , y , z = x y z  

A derivada em relação ao x é:

d d x x y z = y z x y z - 1

A derivada em relação ao y é:

Antes

x y z = e ln ⁡ x y z = e y z ln ⁡ x

assim

d d y e y z ln ⁡ x = ln ⁡ y z y x z x z - 1

E em relação ao z é:

d d z x y z = ln ⁡ x y z ln ⁡ y x y z

Assim:

f ' x , y , z = y z x y z - 1 ,   ln ⁡ y z y x z x z - 1 ,   ln ⁡ x y z ln ⁡ y x y z

Quanta coisa, não?

Para f)

em relação ao x é:

d d x x y + z = y + z x y + z - 1

Em relação ao y é:

Antes:

x y + z = e ln ⁡ x y + z = e y + z ln ⁡ x

d d y x y + z = d d y e y + z ln ⁡ x = ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x

E em relação ao z é:

d d z e y + z ln ⁡ x = ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x

Assim:

f ' x , y , z = y + z x y + z - 1   ,     ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x   ,     ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x  

E para g)

Em relação ao x e ao y é:

d d x x + y z = z x + y z - 1 = d d y x + y z

E em relação ao z é:

d d z x + y z = d d z e z ln ⁡ x + y = x + y z ln ⁡ x + y

Assim:

f ' x , y , z = z x + y z - 1 ,     z x + y z - 1 ,     x + y z ln ⁡ x + y  

Passo 3

Para h)

Em relação x é:

d d x sin ⁡ x y = y cos ⁡ x y

E em relação y é:

d d y sin ⁡ x y = x cos ⁡ x y

E em relação ao z:

d d z sin ⁡ x y = 0

Assim:

f ' x , y , z = y cos ⁡ x y ,     x cos ⁡ x y ,     0

Para i)

Em relação ao x é:

d d x sin ⁡ x y cos ⁡ 3 = y cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1

E em relação ao y é:

d d y sin ⁡ x y cos ⁡ 3 = x cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1

E em relação ao z é 0.

Assim:

f ' x , y = y cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1 , x cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1

E para o j)

d d x sin ⁡ x y , sin ⁡ ( x sin ⁡ y ,   x y

Como na b), a derivada será definida por:

f ' ( x , y , z ) = d d x d d y d d z d d x d d y d d z d d y d d y d d z

Todas essas derivadas já fizemos antes, então:

f ' ( x , y , z ) = y   c o s ⁡ ( x y ) x   c o s ⁡ ( x y ) 0 sin ⁡ ( y ) cos ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ y cos ⁡ ( x sin ⁡ y ) 0 y x y - 1 x y   ln ⁡ x 0

Resposta

  1. f ' x , y , z = ( y x y - 1 , ln ⁡ x   x y , 0 )
  2. f ' x , y , z = y x y - 1 ln ⁡ x     x y 0 0 0 1
  3. f ' x , y = ( sin ⁡ y   cos ⁡ x sin ⁡ y , x cos ⁡ y cos ⁡ ( x sin ⁡ y ) )  
  4. f ' x , y , z = cos ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z * sin ⁡ y sin ⁡ z ,       x cos ⁡ y sin ⁡ z   sin ⁡ z , x y cos ⁡ y sin ⁡ z cos ⁡ z    
  5. f ' x , y , z = y z x y z - 1 ,   ln ⁡ y z y x z x z - 1 ,   ln ⁡ x y z ln ⁡ y x y z
  6. f ' x , y , z = y + z x y + z - 1   ,     ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x   ,     ln ⁡ x   e y + z ln ⁡ x  
  7. f ' x , y , z = z x + y z - 1 ,     z x + y z - 1 ,     x + y z ln ⁡ x + y  
  8. f ' x , y , z = y cos ⁡ x y ,     x cos ⁡ x y ,     0
  9. f ' x , y = y cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1 , x cos ⁡ 3 cos ⁡ x y   sin ⁡ x y cos ⁡ 3 - 1
  10. f ' ( x , y , z ) = y   c o s ⁡ ( x y ) x   c o s ⁡ ( x y ) 0 sin ⁡ ( y ) cos ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ y cos ⁡ ( x sin ⁡ y ) 0 y x y - 1 x y   ln ⁡ x 0