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Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (suponha que t ≥ 0 ).

3 .         x ' - 3 x = t + e t ,       x 0 = 0    

Passo 1

Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação...

L x ' - 3 x = L t + e t

Como a transformada é linear, podemos separar em...

L x ' - 3 L x = L t + L e t   →

Calculando cada uma dessas transformadas se lembrando, corretamente, da transformada da derivada...

s X s - x 0 - 3 X s = 1 s 2 + 1 s - 1   →

X s s - 3 = 1 s 2 + 1 s - 1   →

X s = 1 s 2 s - 3 + 1 s - 1 s - 3   →

SHOW! Para buscar a transformada inversa, precisamos separar essas duas frações em frações parciais! Bora?

Passo 2

Colocando corretamente as frações que devem ter nesse caso para as frações parciais...

X s = A s + B s 2 + C s - 3 + D s - 1 + E s - 3   →

Então vejamos para os termos dos primeiros colchetes...

A s + B s 2 + C s - 3 = 1 s 2 s - 3     →

Colocando sob uma única fração...

A s s - 3 + B s - 3 + C s 2 s 2 s - 3 = 1 s 2 s - 3     →

A s s - 3 + B s - 3 + C s 2 = 1     →

A s 2 - 3 A s + B s - 3 B + C s 2 = 1     →

A + C s 2 + B - 3 A s - 3 B = 1     →

Por igualdade com o polinômio do lado esquerdo (que só tem a constante 1 )...

B = - 1 3             e           A + C = 0       e         B - 3 A = 0       →

A = B 3 = - 1 9

C = 1 9

Agora vejamos quem são B e A pelas frações parciais dos outros colchetes que ainda não analisamos...

D s - 1 + E s - 3 = 1 s - 1 s - 3     →

D s - 3 + E s - 1 s - 1 s - 3 = 1 s - 1 s - 3     →

Simplificando...

D s - 3 + E s - 1 = 1   →

D s - 3 D + E s - E = 1     →

D + E s + - 3 D - E = 1

Por igualdade de polinômios novamente...

D + E = 0       e         - 3 D - E = 1       →

Portanto...

D = - E             →           3 E - E = 1       → E = 1 2

D = - 1 2

SHOW! Com isso podemos dizer que o nosso Laplace em frações parciais vale...

X s = A s + B s 2 + C s - 3 + D s - 1 + E s - 3   →    

X s = - 1 9 ⋅ 1 s - 1 3 ⋅ 1 s 2 + 1 9 ⋅ 1 s - 3 + - 1 2 ⋅ 1 s - 1 + 1 2 ⋅ 1 s - 3   →

X s = - 1 9 ⋅ 1 s - 1 3 ⋅ 1 s 2 + 1 1 18 ⋅ 1 s - 3 - 1 2 ⋅ 1 s - 1   →

Agora, só falta aplicar a transformada de Laplace inversa!

Passo 3

Aplicando a transformada inversa então...

x t = L - 1 - 1 9 ⋅ 1 s - 1 3 ⋅ 1 s 2 + 11 18 ⋅ 1 s - 3 - 1 2 ⋅ 1 s - 1   →

x t = - 1 9 - 1 3 t + 11 18 e 3 t - 1 2 e t

Para verificar, devemos primeiro calcular a derivada dessa resposta...

x ' t = - 1 3 + 11 18 ⋅ 3 e 3 t - 1 2 e t

E agora substituir na EDO:

x ' - 3 x = t + e t   →

Ficando com...

- 1 3 + 11 6 e 3 t - 1 2 e t - 3 - 1 9 - 1 3 t + 11 18 e 3 t - 1 2 e t = t + e t   →

- 1 3 + 11 6 e 3 t - 1 2 e t + 1 3 + t - 11 6 e 3 t + 3 2 e t = t + e t   →

t + e t = t + e t  

POXA! Isso é verdade! Então de fato é solução!

Resposta

x ' t = - 1 3 + 11 18 ⋅ 3 e 3 t - 1 2 e t

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