Utilizar o teorema de Lagrange para deduzir a seguinte igualdade:

|sen(x) - sen(y)| ≤ |x - y|

Passo 1

Primeiro vamos lembrar o que o teorema de Lagrange nos diz:

Dada uma função contínua f definida em um intervalo [ a , b ] e diferenciável em [ a , b ] , então existe um c   ∈ ( a , b ) tal que f ' c = f x - f ( y ) x - y  

Passo 2

Tomando f t = s e n t   e   g t = t , como ambas são contínuas e diferenciáveis podemos aplicar o teorema:

Para f:

f ' c 1 = f x - f ( y ) x - y ,   p a r a   c 1   ∈ ( x , y )

Para g:

g ' c 2 = g x - g ( y ) x - y ,   p a r a   c 2   ∈ ( x , y )

Passo 3

Dividindo ambas equações achamos:

f ' c 1 g ' c 2 = f x - f y g x - g y

Logo:

cos ⁡ c 1 = s e n x - s e n y x - y

c o s c 1   x - y = | s e n x - s e n y |

Como 0 < c o s c 1 < 1 , concluímos que:

s e n x - s e n y ≤ | x - y |

Resposta

Demonstração