Utilizar o teorema de Lagrange para deduzir a seguinte igualdade:

n * y^(n-1) * (x - y) ≤ x^n - y^n ≤ n * x^(n-1) * (x - y)

Para 0 < y ≤ x e n ≥ 0

Passo 1

Primeiro vamos lembrar o que o teorema de Lagrange nos diz:

Dada uma função contínua f definida em um intervalo [ a , b ] e diferenciável em [ a , b ] , então existe um c   ∈ ( a , b ) tal que f ' c = f x - f ( y ) x - y

Passo 2

Tomando f t = t n   e   g t = t , como ambas são contínuas e diferenciáveis podemos aplicar o teorema:

Para f:

f ' c 1 = f x - f ( y ) x - y ,   p a r a   c 1   ∈ ( x , y )

Para g:

g ' c 2 = g x - g ( y ) x - y ,   p a r a   c 2   ∈ ( x , y )

Dividindo ambas equações:

f ' c 1 g ' c 2 = f x - f y g x - g y

Passo 3

Substituindo:

n c 1 n - 1 1 = x n - y n x - y

n c 1 n - 1   x - y = x n - y n                 * *

Sabemos pela escolha do c 1 que 0 < y < c 1 < x , logo:

y n - 1 < c 1 n - 1 < x n - 1

Então, multiplicando a inequação acima pelo valor positivo n x - y :

n x - y y n - 1 < c 1 n - 1 n x - y < x n - 1 n x - y

Mas veja que esse termo do meio já achamos ( x n - y n ) - o l h a r   e m * *

Logo:

n y n - 1 x - y ≤ x n - y n ≤ n x n - 1   x - y

Resposta

Demonstração