Utilize uma calculadora para encontrar os ângulos agudos entre os planos nos Exercícios 49-52 com a precisão de centésimos de um radiano.

49. 2x + 2y + 2z = 3, 2x - 2y - z = 5

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Das duas equações dadas podemos extrair dois vetores tais que n 1 ​ é perpendicular ao primeiro plano e n 2 é perpendicular ao segundo, como segue

P 1 : 2 x + 2 y + 2 z = 3 → n 1 = 2,2 , 2

P 2 : 2 x - 2 y - z = 5 → n 2 = 2 , - 2 , - 1

Como mostrado na figura acima, o ângulo entre quaisquer dois planos de interseção é igual ao ângulo entre quaisquer dois vetores n 1 e n 2 , de modo que n 1 seja perpendicular a P 1 e n 2 ​ seja perpendicular a P 2 .

Passo 2

Agora vamos calcular o ângulo θ , nós temos que

θ = cos - 1 ⁡ n 1 ∙ n 2 n 1 ∙ n 2

Substituindo os termos

θ = cos - 1 ⁡ 2,2 , 2 ∙ 2 , - 2 , - 1 2,2 , 2 ∙ 2 , - 2 , - 1 = cos - 1 ⁡ 4 - 4 - 2 2 2 + 2 2 + 2 2 ∙ 2 2 + - 2 2 + - 1 2

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

θ = cos - 1 ⁡ - 2 2 3 9 = cos - 1 ⁡ - 1 3 3

Portanto,

θ = 1,76   r a d

Desde que θ > π 2 = 1,57 , o ângulo agudo que procuramos é

3,14 - 1,76 = 1,38   r a d  

Resposta

1,38   r a d