Enunciado

Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .

Passo 1

A questão pede para calcularmos a área de uma região usando uma integral dupla em coordenadas polares. Sabemos que área de uma região D é dada por

A = ∬ D d A

Como em coordenadas polares d A = r   d r   d θ , temos que

A = ∬ D r   d r   d θ

Neste caso, queremos a área de um laço da rosácea r = cos ⁡ 3 θ . Esboçando essa curva com - π 2 ≤ θ ≤ π 2 , obtemos

Como estamos interessados em um laço apenas, vamos nos restringir ao intervalo - π 6 ≤ θ ≤ π 6 . Assim,

A = ∫ - π 6 π 6 ∫ 0 cos ⁡ 3 θ r   d r   d θ

Passo 2

Fazendo a integral em r :

A = 1 2 ∫ - π 6 π 6 cos 2 ⁡ 3 θ   d θ

Fazendo a mudança t = 3 θ , temos que

t = 3 θ

d t = 3   d θ

d θ = d t 3

Substituindo na integral:

A = 1 2 ⋅ 1 3 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ t d t

A = 1 6 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ t d t

Dessa forma, podemos ainda reescrever a integral, como:

A = ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ t d t = 2 ⋅ ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t d t

Logo,

A = 1 6 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ t d t

= 1 3 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t   d t

= 1 6 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 t d t = π 12

Resposta

π 12

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