Utilize vetores para provar que:

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2

para quaisquer quatro números a, b, c e d . (Sugestão: sejam u = a * i + b * j e v = c * i + d * j )

Passo 1

E aí, galera! Tudo beleza? Então, bora lá para mais uma!

Na seção de exercícios 12.3, exercício 25 nós vimos a desigualdade de Cauchy-Schwartz, lembra? Se não lembra, não tem problema, é essa desigualdade aqui

| u → ⋅ v → | ≤ | u → | | v → |

Vamos elevar essa desigualdade ao quadrado:

| u → ⋅ v → | 2 ≤ | u → | 2 | v → | 2

Passo 2

Agora podemos seguir a sugestão do enunciado e escrever u → = a i → + b j → e v → = c i → + d j → . Assim,

| u → ⋅ v → | = a c + b d

| u → | = a 2 + b 2

| v → | = c 2 + d 2

Substituindo esses resultados na desigualdade de Cauchy-Schwartz, nós ficamos com

( a c + b d ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 )

Prontinho, aí está a prova. Gostou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.