Vamos discutir, neste problema, o erro de truncamento global associado ao método de Euler para o problema de valor inicial y' = f(t, y), y(t0) Supondo que as funções f e f_y são contínuas em uma região R fechada e limitada do plano t y que inclui o ponto (t0, y0) , pode-se mostrar que existe uma constante L tal que | f(t, y) - f(t, y -) < L | y - y - | onde (t, y) e (t, y-)

São dois pontos quaisquer em R com a mesma coordenada t (veja o Problema 15 da Seção 2.8 ). Além disso, vamos supor que f , é contínua. de modo que a solução phi tem derivada segunda continua.

a) Usando a Eq. ( 20 ), mostre que:

| E_n+1 | ≤ | E_n | + h | f(t_n, ϕ(t_n)) - f(t_n, y_n) | + 1/2 * h² | ϕ'(| t_n - | ≤ α | E_n | + β * h² (i)

Onde α = 1 + hL e β - máx | ϕ"(t) | / 2 e m t ≤ t ≤ t n

b) Aceitando, sem demonstração,o fato de que se E_0 = 0 e s e | E_n | satisfaz a Eq. (i), então |E_n| ≤ β * h^2 * (α^n - 1) / (α - 1) para α ≠ 1 , mostre que:

E_n ≤ ((1 + h * L)^n - 1) / L * β * h (ii)

A Eq. (ii) fornece uma cota para l E_n l em termos de h, L, n e beta . Note que para um h fixo essa cota aumenta quando n aumenta, ou seja, o erro aumenta com a distância ao ponto inicial t0 .

c) Mostre que (1 + hL)^n ≤ e^(nhL) , portanto.

E_n ≤ (e^(nhL) - 1) / L β_h = (e^((tn - to)L) - 1) / L β_h

Para um ponto fixo T = t0 + nh [ou seja, n h é constante e h = (T - t0) / n , essa cota para o erro é da forma uma constante vezes h e tende a zero quando h → 0 . Note também , que para nh L = (T - to) L pequeno o lado à direita do sinal de igualdade na equação precedente é aproximadamente igual a n * h^2 * β = (T - t0) * β * h. que foi obtido na Eq. (24) por um argumento intuitivo.

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Primeiramente vamos voltar nossa atenção na equação (14):

E n =   ϕ   t n - y n

Agora vamos substituir está equação na equação ( 20 ) também solicitada pelo exercício:

E n + 1 = E n + h { f t n ,   ϕ t n } - f t n ,   y n + ϕ " ( t n - ) h ² / 2  

Usando a desigualdade dada envolvendo L   temos:

[ f t n ,   ϕ t n ] - f ( t n , y n ) ]   ≤ L | ϕ t n - y n | = L | E n |

E assim:

| E n + 1 ≤ E n + h L | E n + m á x   | ϕ " ( t ) | h ² / 2   =   α | E n | + β h ²

Até aí tranquilo?

Beleza, bora continuar então!

Passo 2

Neste item temos outra demonstração pela frente!

Preparado? Tudo belezinha?

Vamos continua então!

Aqui vamos definir que α = 1 +     h L   ,   α - 1 = h L   por esse motivo temos que:

β h 2 α n - 1 α - 1 = β h 2 [ 1 + h L ) n - 1 ] h L =     β [ 1 + h L ) n - 1 ] L

Quase acabando!

Último item!

Passo 3

Neste item temos outra demonstração pela frente!

Preparado? Tudo belezinha?

Vamos continua então!

Desde que ( 1 + h L ) n   ≤ exp ⁡ n h L , podemos observar que:

( exp ⁡ n L ) n = exp ⁡ n h L

( exp ⁡ n L ) n = (   1 + h L + h 2 L 2 2 ! + … . ) n

Outro pulo do gato!

Devemos ter a sensibilidade de notar que:

n h = t n - t 0

A continuação do argumento intuitivo é o resto da equação ( i i )

UFA! Essa foi Longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)