Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 9º - Capítulo 8.1 - Ex. 23

Vamos discutir, neste problema, o erro de truncamento global associado ao método de Euler para o problema de valor inicial y '   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0   ) . Supondo que as funções f   e   f y são contínuas em uma região R fechada e limitada do plano t y que inclui o ponto ( t 0 ,   y 0 ) , pode-se mostrar que existe uma constante L tal que f t , y - f t , y - < L y - y - | onde t , y   e   t , y -

São dois pontos quaisquer em R com a mesma coordenada t (veja o Problema 15 da Seção 2.8 ). Além disso, vamos supor que f , é contínua. de modo que a solução ϕ   tem derivada segunda continua.

a) Usando a Eq. ( 20 ), mostre que:

E n + 1 ≤ E n + h f t n ,   ϕ t n - f t n ,   y n + 1 2 h 2 | ϕ " ( t n - ) | ≤ α | E n | + β h ² (i)

Onde α = 1 + h L   e   β - m á x |   ϕ " ( t ) | / 2   e m   t o   ≤ t ≤   t n

b) Aceitando, sem demonstração,o fato de que se E 0 = 0   e   s e   E n   satisfaz a Eq. (i), então E n   ≤ β h 2 α n - 1 α - 1     p a r a   α ≠ 1 , mostre que:

E n   ≤ 1 + h L ) n - 1 L   β h       ( i i )

A Eq. (ii) fornece uma cota para l E n l em termos de   h ,   L ,   n   e β . Note que para um h fixo essa cota aumenta quando n aumenta, ou seja, o erro aumenta com a distância ao ponto inicial t 0 .

c) Mostre que ( 1 + h L ) n   ≤ e n h L , portanto.

E n   ≤ e ) n h L - 1 L   β h =   e ) ( t n - t o ) L - 1 L   β h      

Para um ponto fixo T   =   t 0   +   n h [ou seja, n h   é constante e   h   = [ ( T   –   t 0 ) / n ] , essa cota para o erro é da forma uma constante vezes   h e tende a zero quando h → 0 . Note também , que para n h   L   =   ( T   -   t o ) L pequeno o lado à direita do sinal de igualdade na equação precedente é aproximadamente igual a n h 2 β = ( T - t 0 ) β h . que foi obtido na Eq. (24) por um argumento intuitivo.

Passo 1

Saudações galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolver mais um exercício?

Bora lá começar então!

Primeiramente vamos voltar nossa atenção na equação (14):

E n =   ϕ   t n - y n

Agora vamos substituir está equação na equação ( 20 ) também solicitada pelo exercício:

E n + 1 = E n + h { f t n ,   ϕ t n } - f t n ,   y n + ϕ " ( t n - ) h ² / 2  

Usando a desigualdade dada envolvendo L   temos:

[ f t n ,   ϕ t n ] - f ( t n , y n ) ]   ≤ L | ϕ t n - y n | = L | E n |

E assim:

| E n + 1 ≤ E n + h L | E n + m á x   | ϕ " ( t ) | h ² / 2   =   α | E n | + β h ²

Até aí tranquilo?

Beleza, bora continuar então!

Passo 2

Neste item temos outra demonstração pela frente!

Preparado? Tudo belezinha?

Vamos continua então!

Aqui vamos definir que α = 1 +     h L   ,   α - 1 = h L   por esse motivo temos que:

β h 2 α n - 1 α - 1 = β h 2 [ 1 + h L ) n - 1 ] h L =     β [ 1 + h L ) n - 1 ] L

Quase acabando!

Último item!

Passo 3

Neste item temos outra demonstração pela frente!

Preparado? Tudo belezinha?

Vamos continua então!

Desde que ( 1 + h L ) n   ≤ exp ⁡ n h L , podemos observar que:

( exp ⁡ n L ) n = exp ⁡ n h L

( exp ⁡ n L ) n = (   1 + h L + h 2 L 2 2 ! + … . ) n

Outro pulo do gato!

Devemos ter a sensibilidade de notar que:

n h = t n - t 0

A continuação do argumento intuitivo é o resto da equação ( i i )

UFA! Essa foi Longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)