Qual é a velocidade média da variação da função y = x^3 no segmento 1 ≤ x ≤ 4 ?

Passo 1

Vamos lá então, que essa é boa!

A velocidade média da variação da função é dada pela derivada da função no ponto x . Ou seja, o limite da razão Δ y Δ x , quando o Δ x tende a zero. Então:

Δ y = x + Δ x 3 - x 3

Δ y = x + Δ x x + Δ x x + Δ x - x 3

Δ y = x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 x + Δ x - x 3

Δ y = x 3 + x 2 Δ x + 2 x 2 Δ x + 2 x Δ x 2 + x Δ x 2 + Δ x 3 - x 3

Δ y = 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3

Δ y Δ x = 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 Δ x

Δ y Δ x = 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2

Agora, basta aplicarmos o limite:

y ' = lim Δ x → 0 ⁡ Δ y Δ x = l i m Δ x → 0 3 x 2 + 3 x Δ x + Δ x 2

y ' = 3 x 2 + 3 x ∙ 0 + 0 2

y ' = 3 x 2

Resposta

Portanto, para x = 1 , a velocidade média da variação da função, ou seja, sua derivada, equivale a

y ' 1 = 3 x 2 = 3 1 2 = 3

Deu um pouquinho de trabalho para desenvolver, mas não é um bicho de sete cabeças, né?

É só ter atenção que dá certo!