Verificar a tabela de derivadas que a seguir se apresenta. Subentende-se que cada fórmula é válida para aqueles valores de x para os quais f(x) está definida

Passo 1

Vamos derivar cada função e denotar se são validas f’(x), uma outra coisa é que vamos utilizar também identidades trigonométricas.

f x = t g x

Sei que tgx tem identidade de sem/cosx, então vamos aplicar à nossa função e utilizar também a regra do quociente para derivar

f x = s e n x c o s x

f ' x = s e n x ' c o s x - s e n x c o s x ' c o s x 2

= c o s 2 x + s e n 2 x c o s 2 x

Sei que cos²x+sen²x= 1, substituindo na nossa resposta tem-se:

= 1 c o s 2 x

Sei que 1 c o s x = s e c x , vamos substituir novamente e teremos:

= 1 c o s 2 x = s e c ² x

Podemos ver que f(x)=tg x é válido para f’(x)=sec²x

Passo 2

Agora vamos verificar o outro ponto do quadro derivando-a e utilizar também identidades trigonométricas.

f x =   c o t g x

Sabe-se que cotgx tem por identidade cosx/senx, partindo da mesma ideia da questão anterior tem-se:

f x = c o s x s e n x

f ' x = c o s x ' s e n x - ( c o s x ) ( s e n x ) ' ( s e n x ) ²

= - s e n 2 x - c o s ² x s e n ² x

Isolando o sinal negativo e aplicando a identidade, temos:

= - 1 s e n 2 x =   - c o s e c ² x

Nota-se que devido ao sinal negativo não pode ser considerado válido à f’(x)

Passo 3

Agora vamos verificar o outro ponto do quadro derivando-a e utilizar também identidades trigonométricas

f x =   s e c x

f x = 1 c o s x , utilizando a regra do quociente para resolver

f x = 1 ' c o s x - 1 c o s x ' c o s x 2 = s e n x c o s 2 x

Reescrevendo tem-se

= s e n x c o s x * 1 c o s x

Utilizando as identidades sei que senx/cos= tgx e 1/cosx=secx

f x =   t g x s e c x

Nota-se então que essa função é válida com sua derivada.

Passo 4

A partir do mesmo processo tem-se

f x = c o s e c x

Sei que cosec x= 1/senx

f x = 1 s e n x

f ' x = 1 ' s e n x - 1 s e n x ' ( s e n x ) ²

= - c o s x s e n 2 x = - c o s x s e n x * 1 s e n x

Logo,

= - c o t g x c o s e c x

A partir disso essa fórmula tem por válida à f(x)=cosecx. Até a próxima

Resposta

Tirando a segunda questão as demais tem suas fórmulas válidas.