Verifique que y = sen(3t) + 2 * cos(3t) é uma solução para o problema de valor inicial

2y'' + 18y = 0 ; y(0) = 2 , y' (0) = 3 .

Passo 1

Tudo bem?? Espero que simmm!!! Aqui, o que precisamos é basicamente derivada. Vamos derivar a solução que o enunciado nos pede para verificar e após isso aplica-la na equação. Se zerarmos a equação, ela é solução.

E para verificar as condições iniciais nós só vamos precisar aplicar o valor de t que ele nos deu e ver se realmente resulta no y da condição.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a suposta solução para aplica-la na equação.

y = s e n   3 t + 2 c o s ⁡ 3 t

y ' = 3 cos ⁡ 3 t - 6 s e n   3 t

y ' ' = - 9 s e n   3 t - 18 cos ⁡ 3 t

Agora, já podemos aplicar na equação abaixo:

2 y ' ' + 18 y = 0

2 - 9 s e n   3 t - 18 cos ⁡ 3 t + 18 s e n   3 t + 2 cos ⁡ 3 t = 0

- 18 s e n   3 t - 36 cos ⁡ 3 t + 18 s e n   3 t + 36 cos ⁡ 3 t = 0

0 = 0

A função realmente é solução da equação diferencial.

Passo 3

O que precisamos para a segunda parte da questão é vermos se os valores das condições iniciais realmente coincidem com a função. y 0 = 2 e y ' 0 = 3 .

y 0 = s e n 3.0 + 2 cos ⁡ 3.0

y 0 = 2

y ' 0 = 3 cos ⁡ 3.0 - 6 s e n 3.0

y ' 0 = 3

Portanto, a função que ele nos deu, é solução para a equação diferencial com as condições iniciais impostas.

Resposta

Resolução nos passos acima.