Verifique se, quando a equação diferencial linear P x y - Q ( x ) d x + d y = 0 é multiplicada por μ x = e ∫ P ( x ) d x , o resultado é exato.

Passo 1

A equação que o enunciado nos deu, é:

P x y - Q ( x ) d x + d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

P x y e ∫ P ( x ) d x - Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + e ∫ P ( x ) d x d y = 0

Agora, para sabermos se o resultado é exato, a igualdade abaixo tem que ser verdadeira.

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ P x y e ∫ P x d x - Q x e ∫ P x d x ∂ y = ∂ e ∫ P x d x ∂ x

P x e ∫ P x d x = P x e ∫ P x d x

Como a igualdade é respeitada, o resultado é exato.

Resposta

A equação que o enunciado nos deu, é:

P x y - Q ( x ) d x + d y = 0

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante.

P x y e ∫ P ( x ) d x - Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + e ∫ P ( x ) d x d y = 0

Agora, para sabermos se o resultado é exato, a igualdade abaixo tem que ser verdadeira.

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ P x y e ∫ P x d x - Q x e ∫ P x d x ∂ y = ∂ e ∫ P x d x ∂ x

P x e ∫ P x d x = P x e ∫ P x d x

Como a igualdade é respeitada, o resultado é exato.