Enunciado

Verifique a Fórmula (2) do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.

F ( x ,   y , z )   =   x i   +   y j   +   z k

σ é o hemisfério superior z = a 2 - x 2 -   y 2   .

Passo 1

Vamos para mais uma questão galera!

O Teorema de Stokes diz que:

∮ C F . T   d s =   ∬ σ r o t   F . n   d S

Passo 2

Calculando pela integral de linha:

Primeiramente, vamos transformar em uma variável:

∮ C F .   d r = ∮ C x d x + y d y   +   z d z

Considerando

x   =   2   c o s   t ,   y   =   2   s e n   t ,   z   =   0   ( 0   ≤   t   ≤   2 π )

∮ C x d x + y d y   +   z d z = ∫ 0 2 π ( 2   c o s   t + 2   s e n   t ) d t = - 2   s e n   t + 2   c o s   t 0 2 π = - 2   s e n   2 π + 2   c o s   2 π + 2   s e n   0 - 2   c o s   0 = 0

Passo 3

Calculando pela integral dupla:

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x     y   z   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   x   y     | = ∂ ( z ) ∂ y i + ∂ ( x ) ∂ z j + ∂ ( y ) ∂ x k - ∂ x   ∂ y k - ∂ y   ∂ z i - ∂ z   ∂ x j = 0

∬ σ r o t   F . n   d S = 0

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de